Автор Тема: Теория о кубике Рубика; система нотации и определения  (Прочитано 4607 раз)

1 Пользователь и 0 Гостей просматривают эту тему.

Оффлайн Тайльнемер

  • Сообщений: 12732
  • Σοι υν βυρρο. Ix bin æn ézl
    • Просмотр профиля
    • E-mail
    • Личное сообщение (Оффлайн)
а нижними индехсами буду обозначать кол-во повторов
Если бы я придумывал нотацию, я бы обозначил это через верхний индекс (т. е. степень), как принято в алгебре. Точно так же и двойной поворот.

R² U R U R' U' R' U' R' U R'  z² R U' R U R U R U' R' U' R² x (M² U²)²

Оффлайн Вадимий

  • Blogger
  • *
  • Сообщений: 15019
  • Пол: Мужской
    • ICQ клиент - 575445609
    • Просмотр профиля
    • E-mail
    • Личное сообщение (Оффлайн)
Точно так же и двойной поворот.
Кстати, где-то видел такое...

Если бы я придумывал нотацию, я бы обозначил это через верхний индекс (т. е. степень), как принято в алгебре
Что-то мне не очень нравится, можно попробовать,  в принципе...
 

Ох, как-то, по-моему, перехват с верхним индексом не очень хорошо выглядит...

Вообще при любом натуральном x справедливо это равенство:
F (R U R' U')x F'= F (U R U' R')6-x F' = Fw (R U R' U')6-x Fw' y2= Fw (U R U' R')x Fw' y2

Если ввести определение, что алгоритм* — это развёрнутый наоборот алгоритм (тогда x+x*=0; давайте нулём обозначать алгоритм, в котором ничего в кубике не меняется), i — число повторений алгоритма с исходной позиции, от которого кубик собирается (например, для пиф-пафа i=6; давайте введём такое обозначение: (алгоритм).i=i, например, (R U R' U').i=6, (R).i=4), то тогда логично будет предположить, что алгоритм-x=алгоритм*x.

Вообще, у меня в голове не очень большая теоретическая база, которую, видимо, придётся сюда выкладывать.

Придётся ввести ещё два определения (для удобства записей и доказательств): пусть суммой алгоритмов будет называться алгоритм, составленный из алгоритмов-слагаемых (понятно, что в данном случае операция суммы некоммутативна; будем обозначать плюсом) и разности (x-y=x+y*).
Так вот, докажем, что алгоритм-x=алгоритм*x.


Итого, то равенство справедливо при любом целом x.
Эхх, придётся под это отдельную тему делить

Оффлайн Тайльнемер

  • Сообщений: 12732
  • Σοι υν βυρρο. Ix bin æn ézl
    • Просмотр профиля
    • E-mail
    • Личное сообщение (Оффлайн)
Вадимий, вы настоящий алгебраист!

алгоритм* — это развёрнутый наоборот алгоритм
У вас уже есть обозначение через штрих, так что символ «звёздочка» — лишний.
Например: (R U R' U')' = U R U' R'

пусть суммой алгоритмов будет называться алгоритм, составленный из алгоритмов-слагаемых (понятно, что в данном случае операция суммы некоммутативна; будем обозначать плюсом)
Такая операция называется композицией. Символ операции можно не писать (что и делается в нотации кубика рубика). Просто A B обозначает композицию A и B.


Оффлайн Вадимий

  • Blogger
  • *
  • Сообщений: 15019
  • Пол: Мужской
    • ICQ клиент - 575445609
    • Просмотр профиля
    • E-mail
    • Личное сообщение (Оффлайн)
У вас уже есть обозначение через штрих, так что символ «звёздочка» — лишний.
Например: (R U R' U')' = U R U' R'
О, правильно!
Такая операция называется композицией. Символ операции можно не писать (что и делается в нотации кубика рубика). Просто A B обозначает композицию A и B.
:up:

Выделю, пожалуй; ещё надо выяснить число i для любого алгоритма; вообще-то визуально это делать я уже научился, но можно упростить как-то, видимо.

Например: (R U R' U')' = U R U' R'
через что легко доказать, что
F (R U R' U')x F'= F (U R U' R')6-x F'
, но вот следующее за этим выражение
F (R U R' U')x F'= F (U R U' R')6-x F' = Fw (R U R' U')6-x Fw' y2= Fw (U R U' R')x Fw' y2
тоже, кажется, можно доказать чисто теоретически.

Оффлайн Тайльнемер

  • Сообщений: 12732
  • Σοι υν βυρρο. Ix bin æn ézl
    • Просмотр профиля
    • E-mail
    • Личное сообщение (Оффлайн)
давайте нулём обозначать алгоритм, в котором ничего в кубике не меняется
Обычно, когда рассматривают группы подстановок с операцией композиции, то такой элемент называют единичным и обозначают 1 или e или Id (от identity).

i — число повторений алгоритма с исходной позиции, от которого кубик собирается
А это число в теории групп называется порядком элемента (в данном случае — порядком алгоритма).
Порядок алгорима A обозначается ord A

Aord A = e

Вообще группой называется непустое  множество G с определённой на нём бинарной операцией, которая удовлетворяет трём условиям:
1) ассоциативность;
2) наличие нейтрального элемента;
2) Наличие обратного элемента для каждого элемента группы.

В нашем случае множеством G будет множество всех (достижимых из начальной позиции) позиций кубика Рубика. Или, что то же самое, множество всех алгоритмов; при этом алгоритмы, дающие одинаковый результат считаются равными (то есть являются одним и тем же элементом группы).
Здесь возникает вопрос: считать ли перехват кубика изменением его позиции? Можно считать, а можно и не считать. Во втором случае у нас будет множество поменьше, чем в первом. Давайте обозначим большое множество G, а маленькое, скажем, G0. Далее будем рассматривать их оба.

Операция, определённая на этом множестве — это композиция алгоритмов. Если a и b — два алгоритма, то их композиция — a b — это алгоритм, состоящий из выполнения a и, затем, выполнения b.

Посмотрим, выполняются ли свойства 1—3:
1) Ассоциативность — это независимость результата от порядка применения операции (т. е. от «расстановки скобок»). Для любых элементов a, b и c должно выполняться равенство: (a b) c = a (b c).
В нашем случае это, очевидно, так: как (a b) c, так и a (b c) обозначают одну и ту же последовательность действий над кубиком.
2) Нейтральным элементом группы называется такой элемент e, что для любого элемента a выполняется: a e = e a = a.
В случае с кубиком нейтральным элементом будет алгоритм, ничего с кубиком не делающий.
3) Элемент b называется обратным элементу a, если a b = b a = e. В группе каждый элемент должен иметь обратный.
В нашем случае для любого алгоритма есть развёрнутый наоборот алгоритм, который возвращает кубик в исходное положение.

Таким образом, множество алгоритмов кубика составляет группу.

Обратный элемент для элемента a обозначается a−1, хотя в нотации кубика Рубика принято писать a' (так короче).

Степень элемента определяется следующим образом:
a0 = e;
an+1 = a an, для натуральных n;
a−n = (a−1)n, для натуральных n.
(Например, a−4 — это алгоритм, обратный к a, сделанный 4 раза.)

Порядок элемента a (обозн.: ord a) — это минимальное натуральное число n, такое что an = e.

Порождающим множеством называется такое подмножество группы, что любой элемент группы можно получить композицией некоторых степеней элементов порождающего множества.
Например, множество {L, M, R, D, E, U, B, S, F} всех поворотов граней и средних слоёв является порождающим для группы G.
А множество {L, R, D, U, B, F} всех поворотов граней является порождающим для группы G0.

Подмножество группы, само являющееся группой, называется подгруппой.
Рассмотрим, например, нашу группу G и множество всех перехватов H в нём. Множество перехватов содержит композиции всех своих элементов, м условия 1—3 выполняются для неё, значит H — это подгруппа G (пишут: HG).

Наименьшая подгруппа, содержащая множество {a1, …, an}, называется подгруппой, порорждённой этим множеством, и обозначается ‹a1, …, an›.
Например, H = ‹x, y›.

Оффлайн Вадимий

  • Blogger
  • *
  • Сообщений: 15019
  • Пол: Мужской
    • ICQ клиент - 575445609
    • Просмотр профиля
    • E-mail
    • Личное сообщение (Оффлайн)
Спасибо! (Несмь подкован в матчасти; меня Арсений подковывал, но подковы отлетели уже
Здесь возникает вопрос: считать ли перехват кубика изменением его позиции? Можно считать, а можно и не считать. Во втором случае у нас будет множество поменьше, чем в первом. Давайте обозначим большое множество G, а маленькое, скажем, G0. Далее будем рассматривать их оба.
Однако любой алгоритм, выполненный с перехватами, исключая перехваты в самом конце, и при помощи движений из множества {L, R, D, U, B, F}  (как приятно, что можно не печатать самому, а копировать! :)), можно представить в виде алгоритма из моножества  {L, R, D, U, B, F} без перехватов; а любой алгоритм с движениями {L, M, R, D, E, U, B, S, F} можно представить в виде алгоритма с движениями  {L, R, D, U, B, F}  и перехватами, из чего, конечно же, следует, что любой алгоритм в кубике 3x3 можно представить в виде алгоритма с движениями  {L, R, D, U, B, F}; проблема в перехватах в конце — собственно ориентация кубика Рубика после окончания алгоритма.  (типа B U z). стандартная позиция (например, при скрамблинге на соревнованиях) — фронтальная стороа зелёная,а верхняя — белая (в случае нестандартных расцветок верхняя — наиболее светлая, фронтальная — наиболее тёмная).
Можно положить кубик любой стороной к себе, а их шесть, и одной из четырёх прилегающих вверх, а их четыре; т.е. G0*6*4=G0*24=G

Давненько не случалось перечитывать одного и того же текста по десять раз :)

Скоро напишу единственный известный мне способ определить порядок данного алгоритма, не повторяя его, пока не соберётся; порядок довольно очевиден, но придётся мне въезжать самому и других приглашать въезжать в (не особо сложные) понятия из слепой сборки